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Il risveglio dell'Europa

Il Rinascimento designa quel periodo storico in cui i movimenti di pensiero fioriti in Italia e diffusisi nel resto dell'Europa (tra la fine del XIV e la metà del XVII sec.) sono caratterizzati dall'affermarsi di un nuovo ideale di vita e dal rifiorire degli studi e delle arti. La società frammentata di tipo feudale tipica del Medioevo, basata soprattutto sull'economia agricola e su una vita intellettuale e culturale ispirata al pensiero religioso, si trasformò in una società dominata dalle istituzioni politiche centrali, che propugnavano un'economia commerciale di tipo urbano e il patrocinio laico nell'arte e nella letteratura.

La "nuova nascita" dell'interesse e dell'amore degli uomini per i valori dell'arte e della cultura segnò anche il risveglio degli studi matematici. La "Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità" (1494) di Luca Pacioli è un'opera enciclopedica che riassumeva le conoscenze aritmetiche, algebriche e geometriche del tempo. Scritta in volgare, ebbe grande diffusione e, benché non contenesse nulla di originale, fu molto apprezzata per la sua chiarezza, dovuta anche all'uso di alcune originali abbreviazioni all'interno delle espressioni algebriche, che inaugurarono una tendenza notazionale ampiamente sviluppata negli anni successivi.


Strumenti matematici e geometrici del XV sec.

Pacioli si occupò a fondo delle equazioni di secondo grado, riconducendole tutte a tre casi generali per ognuno dei quali fornì i procedimenti di soluzione; tuttavia la sua algebra non era come la nostra, poiché egli non impiegava le lettere per le incognite, ma usava sempre i numeri.

Nello stesso periodo fu riscoperta e ampliata l'algebra dei Arabi: in particolare, la scuola bolognese affrontò animosamente il problema delle equazioni cubiche e di quarto grado, nell'intento di escogitare un metodo generale valido per entrambe (vedi Tartaglia e Cardano).

François Viète, nella sua Isagoge (Introduzione all'arte analitica), studiò separatamente il calcolo numerico e quello letterale, ossia la nostra "algebra". Approfondì inoltre i problemi della geometria ereditati dai Greci, calcolò “p” fino alla decima cifra decimale (più tardi Ludolf von Cheulen giunse alla 35ª cifra decimale) e fornì praticamente tutte le nostre formule di trigonometria piana e sferica.

John Napier ricercò un sistema che semplificasse i calcoli più complessi e giunse così all'invenzione dei logaritmi, per mezzo dei quali ogni divisione e ogni moltiplicazione, qualunque siano i valori in gioco, si riconducono ad una semplice somma o sottrazione dei rispettivi logaritmi. I “bastoni” di Napier possono essere considerati i precursori del “regolo calcolatore”, inventato da Edmond Gunter nel 1620 e che ha avuto una diffusione vastissima fino a quando non comparvero le calcolatrici tascabili (nel 1970 circa), che ne decretarono la fine.

Nel XVI e XVII sec., accanto all'algebra si rinnova la geometria. Soprattutto l'interesse per gli studi astronomici spinge i cultori della matematica ad occuparsi intensamente dei problemi della geometria e in particolare della “teoria delle coniche”. Si riesumano i lavori di Apollonio e di Archimede. In Francia compare il Traité sur les coniques di Claude Mydorge, che fornisce un procedimento per la dimostrazione delle proprietà delle coniche. Gérard Desargues - ingegnere e architetto - getta il seme di tutta la geometria moderna, estendendo alle coniche non poche proprietà del cerchio.

Cartesio contribuì notevolmente alla matematica elaborando le basi concettuali della geometria analitica, nella quale rette, curve e figure geometriche vengono rappresentate con espressioni algebriche e numeriche per mezzo di un sistema di assi, detti appunto “cartesiani”. Cartesio capì che prendendo come riferimento due rette perpendicolari fra loro e una scala di misura, è perfettamente individuabile e misurabile qualsiasi figura di qualunque forma o dimensione. Inquadrati degli assi, tutti i punti di qualsiasi figura non soltanto sono perfettamente individuabili, ma sono riducibili ad equazioni. D'altra parte si possono scrivere equazioni che corrispondano ad una qualsiasi figura: ecco la geometria analitica. Non soltanto sono superati i limiti della geometria greca (ne è un esempio il celebre problema della quadratura del cerchio con la riga non graduata e il compasso), ma ogni forma geometrica, con il nuovo metodo, può essere analizzata, studiata a fondo, conosciuta in ogni sua relazione e caratteristica: il tutto, senza nemmeno la necessità di disegnarla, ma semplicemente compiendo operazioni algebriche. In questo modo l'aritmetica e l'algebra precedono la geometria sul piano della logica e sono superiori ad essa in quanto rappresentano una “scienza delle grandezze” più generale, che fra tutte le innumerevoli applicazioni ne consente una ineguagliabile per la stessa geometria. Questo è il passaggio dalla matematica geometrizzata alla matematica algebrizzata.

Ciò che vale per due coordinate (cioè per le figure piane) può essere applicato immediatamente allo spazio per i solidi ed allora avremo tre assi coordinate (il prolungamento ideale all'infinito dei tre spigoli di una stanza); per la geometria meccanica e per la relatività dove si considera una quarta dimensione - il tempo - saranno impiegate quattro coordinate; infine, per qualunque spazio immaginabile dai matematici ad n dimensioni, si potranno risolvere i problemi immaginando n coordinate.