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La quadratura della lunula

Sia dato un triangolo rettangolo isoscele ABC con cateto “l”. Facendo centro in O si tracci la semicirconferenza CMB di raggio OB e, facendo centro in A, si tracci l'arco CNB di raggio AB. Si viene così a formare, esternamente al triangolo, una lunula, cioè una figura piana limitata da due archi di circonferenza di diverso raggio, aventi gli estremi in comune e situati dalla stessa parte di piano rispetto alla corda che coniuga tali estremi.

Si può dimostrare che la lunula ha la stessa area del triangolo, infatti:

Dunque, se le aree della zona verde e della zona rossa, aumentate entrambe dell'area della zona bianca, formano due superfici tra loro equivalenti, ne consegue che la lunula e il triangolo sono anch'essi equivalenti.

Tutto questo fu opera di Ippocrate di Chio e può essere considerato lo stimolo, nella storia della matematica, verso uno dei più celebri problemi: "La quadratura del cerchio".

Anticamente questo problema era così espresso:
“Dato il raggio di un cerchio, costruire con compasso e riga non graduata un quadrato avente esattamente la stessa area del cerchio”.

Fonte: Gino Loria ~ Storia delle matematiche